• Nếu n là số nguyên dương, theo định lý nhị thức ta có thể viết:

c n − d n = ( c − d ) ∑ k = 0 n − 1 c k d n − 1 − k {\displaystyle c^{n}-d^{n}=(c-d)\sum _{k=0}^{n-1}c^{k}d^{n-1-k}} ,

hay

( 2 a − 1 ) ⋅ ( 1 + 2 a + 2 2 a + 2 3 a + ⋯ + 2 ( b − 1 ) a ) = 2 a b − 1 {\displaystyle (2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a}\right)=2^{ab}-1}

nhờ đặt c = 2 a {\displaystyle c=2^{a}} , d = 1 {\displaystyle d=1} , và n = b {\displaystyle n=b}

Chứng minh:

( a − b ) ∑ k = 0 n − 1 a k b n − 1 − k {\displaystyle (a-b)\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-1-k}} = ∑ k = 0 n − 1 a k + 1 b n − 1 − k − ∑ k = 0 n − 1 a k b n − k {\displaystyle =\sum _{k=0}^{n-1}a^{k+1}b^{n-1-k}-\sum _{k=0}^{n-1}a^{k}b^{n-k}} = a n + ∑ k = 1 n − 1 a k b n − k − ∑ k = 1 n − 1 a k b n − k − b n {\displaystyle =a^{n}+\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-\sum _{k=1}^{n-1}a^{k}b^{n-k}-b^{n}} = a n − b n {\displaystyle =a^{n}-b^{n}}

• Nếu 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} là số nguyên tố, thì n {\displaystyle n} là số nguyên tố.

Chứng minh

Do

( 2 a − 1 ) ⋅ ( 1 + 2 a + 2 2 a + 2 3 a + ⋯ + 2 ( b − 1 ) a ) = 2 a b − 1 {\displaystyle (2^{a}-1)\cdot \left(1+2^{a}+2^{2a}+2^{3a}+\dots +2^{(b-1)a}\right)=2^{ab}-1}

Nếu n {\displaystyle n} không phải là nguyên tố, hoặc n = a b {\displaystyle n=ab} trong đó 1 < a , b < n {\displaystyle 1<a,b<n} . Do đó, 2 a − 1 {\displaystyle 2^{a}-1} là ước của 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} , hoặc 2 n − 1 {\displaystyle 2^{n}-1} không là nguyên tố.

• Với mọi số nguyên tố p lẻ, ước nguyên tố của Mp luôn có dạng 2 k p + 1 ≡ ± 1 ( mod 8 ) {\displaystyle 2kp+1\equiv \pm 1{\pmod {8}}} .

Chứng minh

Gọi q là ước nguyên tố của 2p - 1 ta có:

2 p ≡ 1 ( mod q ) {\displaystyle 2^{p}\equiv 1{\pmod {q}}} .

Theo định lý nhỏ Fermat ta có:

2 q − 1 ≡ 1 ( mod q ) {\displaystyle 2^{q-1}\equiv 1{\pmod {q}}} .

Từ đó ta có q là ước chung của 2p - 1 và 2q - 1 - 1, hay là gcd ( 2 p − 1 , 2 q − 1 − 1 ) > 1 {\displaystyle \gcd(2^{p}-1,2^{q-1}-1)>1} (*).

Ta xét bổ đề sau: Nếu a và b là hai số nguyên dương phân biệt thì gcd ( 2 a − 1 , 2 b − 1 ) = 2 gcd ( a , b ) − 1 {\displaystyle \gcd(2^{a}-1,2^{b}-1)=2^{\gcd(a,b)}-1} .

Thật vậy, giả sử gcd ( a , b ) = d {\displaystyle \gcd(a,b)=d} , suy ra a = k1d và b = k2d.

Suy ra:

2 a − 1 = 2 k 1 d − 1 = ( 2 d − 1 ) × A {\displaystyle 2^{a}-1=2^{k_{1}d}-1=\left(2^{d}-1\right)\times A} 2 b − 1 = 2 k 2 d − 1 = ( 2 d − 1 ) × B {\displaystyle 2^{b}-1=2^{k_{2}d}-1=\left(2^{d}-1\right)\times B}

Tức là bổ đề ta đã đặt ra là đúng.

Từ bổ đề suy ra: gcd ( 2 p − 1 , 2 q − 1 − 1 ) = 2 gcd ( p , q − 1 ) − 1 {\displaystyle \gcd(2^{p}-1,2^{q-1}-1)=2^{\gcd(p,q-1)}-1} .

Giả sử gcd ( p , q − 1 ) = 1 {\displaystyle \gcd(p,q-1)=1} thì suy ra được gcd ( 2 p − 1 , 2 q − 1 − 1 ) = 1 {\displaystyle \gcd(2^{p}-1,2^{q-1}-1)=1} , mâu thuẫn với (*). Do đó ta phải có gcd ( p , q − 1 ) > 1 {\displaystyle \gcd(p,q-1)>1} . Do p là số nguyên tố nên gcd ( p , q − 1 ) = p {\displaystyle \gcd(p,q-1)=p} hay q - 1 = bp.

Do q là ước của Mp lẻ nên q lẻ, suy ra b = 2k hay q = 2kp + 1.

Do 2p ≡ 1 (mod q) nên 2p + 1 ≡ 2 (mod q), suy ra 2 p + 1 2 {\displaystyle 2^{\frac {p+1}{2}}} là căn bậc hai của 2 theo modulo (môđun) q, tức nó là nghiệm của:

x 2 ≡ 2 ( mod q ) {\displaystyle x^{2}\equiv 2{\pmod {q}}} .

Theo luật tương hỗ bậc hai:

q ≡ ± 1 ( mod 8 ) {\displaystyle q\equiv \pm 1{\pmod {8}}} .